二分答案：先写判定，再找边界

二分答案的常见误解，是把它当成一个可以套用的循环模板。真正需要先想清楚的，是这一步：

如果答案 $x$ 可行，那么比它更宽松/更严格的答案是否也可行？

只有当这个问题有确定答案时，二分才成立。

把最优化问题变成判定问题

很多“最小化最大值”或“最大化最小值”的题目，直接求最优值很困难，但判断某个值 $x$ 是否可行相对容易。

设判定函数为 $P(x)$ 。如果 $P(x)$ 在数轴上呈现单调性，例如：

P(x) \text{ 为真} \Longrightarrow P(x+1) \text{ 也为真}

那么就可以通过二分找到 $P$ 第一次为真的位置。

题目形式	判定函数	答案
最小化最大值	能否让最大值不超过 $x$	最小的可行 $x$
最大化最小值	能否让最小值不小于 $x$	最大的可行 $x$
可行性分配	容量为 $x$ 时能否完成	边界值

一个不依赖模板的写法

以“找到最小的可行值”为例，维护一个不可行下界和一个可行上界：

bool check(long long x) {
    // 判断 x 是否可行
    // ...
}

long long lo = L - 1; // 保证不可行
long long hi = R + 1; // 保证可行

while (hi - lo > 1) {
    long long mid = lo + (hi - lo) / 2;
    if (check(mid)) {
        hi = mid;
    } else {
        lo = mid;
    }
}

// hi 是第一个可行值
cout << hi << '\n';

这种写法的好处是边界含义明确：lo 始终不可行，hi 始终可行，循环结束时 hi 就是答案。

复杂度来自哪里

如果 check(x) 的复杂度是 $O(n)$ ，二分的值域大小为 $V$ ，总复杂度就是：

O(n \log V)

这里的“值域大小”不一定是数组长度，可能是题目给出的数值上限。不要把二分次数写死成 32 次，除非你已经确认值域范围。

三个容易出错的点

单调性没有证明。 样例能过不代表 check 满足单调性；先用小数据或交换论证检查。
区间端点含义混乱。 先决定 lo 与 hi 哪边可行，再让循环不变式贯穿始终。
中间值写出溢出。 习惯使用 lo + (hi - lo) / 2，并注意 check 内部也使用 64 位整数。

二分答案本身只是搜索方式。真正决定正确性的，是判定函数和单调性。

小结

看到“最小化最大值”“最大化最小值”“最小可行代价”时，可以先问三个问题：

答案范围是什么？
如何判断一个答案是否可行？
这个判定是否单调？

三个问题都有清楚的回答之后，再写二分循环。